savoy082

Pt En In this post I will show that some londoners share more than their native language and their propension to get sunburnt. For that we need to notice that there are more than $8.5$ million londoners and that the average human has $100,000$ hairs in the head. Assertion : there are, at least, $9$ londoners with the exact same number of hairs in their head. Twitter proof : given the facts above, there are more than $8$ million londoners with less than $1$ million hairs in their head. By the pigeonhole principle this means at least $9$ londoners have the exact same number of hairs. Neste post vamos mostrar que alguns londrinos partilham mais do que o inglês como língua materna e a propensão para apanhar escaldões. Para isso é preciso notar que há mais de $8.5$ milhões de londrinos e que o ser humano médio tem $100,000$ cabelos na sua cabeça. Asserção : há pelo menos $9$ londrinos com exatamente o mesmo número de cabelos na cabeça. Prova num tweet : pelos factos acima, extistem...

Pt En O problema deste post é muito engraçado porque é muito simples de enunciar e o resultado é um facto engraçado sobre os números inteiros! Problema: Mostra que qualquer número inteiro tem um múltiplo que se escreve apenas com os dígitos $0$ e $1$. Solução: Por comodidade, sejam $c(1) = 1$ e $c(n+1) = 10^{n} + c(n), n > 0$, i.e. $c(k)$ é o número que é escrito por $k$ dígitos $1$ de seguida. Consideramos a lista $c(1), c(2), \cdots, c(|n|-1), c(|n|)$. Ou existe algum $k$ tal que $n\ |\ c(k)$, ou pelo princípio do pombal existem 2 índices $i>j$ com $c(i) \equiv c(j) \mod |n|$. Mas se $c(i)$ e $c(j)$ deixam o mesmo resto na divisão por $n$ então $c(i) - c(j) \equiv 0 \mod{|n|}$ e $c(i) - c(j)$ é escrito apenas com $0$s e $1$s. Por exemplo, para o número $4$ consideramos os números $1, 11, 111, 1111$. É fácil de ver que nenhum desses quatro números é múltiplo de $4$, portanto precisamos de recorrer à segunda parte da demonstração. É fácil de ver que $11,111$ têm o mesmo resto ...