savoy082

Pt En Neste post vou mostrar como a nossa intuição às vezes deixa escapar até as evidências geométricas mais simples... A prova prende-se com um problema real, ainda que pouco comum. Se formos a uma sapataria e experimentarmos uns sapatos novos, a maior parte das vezes vamos querer ver os nossos sapatos novos num espelho. Suponhamos então que, quando olhamos para o espelho na parede, o espelho está demasiado alto e não conseguimos ver abaixo dos nossos joelhos... O que é que devemos fazer a seguir? Damos um passo para a frente ou damos um passo para trás? Asserção : andar para a frente e andar para trás não faz diferença, se nos mantivermos com boa postura. Prova num tweet : para esta prova, uma imagem basta. Entendeste? Se sim, quero saber! Se não, eu explico! Basta deixar um comentário em baixo. In this post I will show how our intuition can be fooled, even by the simplest geometrical problems... The proof is related to a real-world problem, even though an uncommon one. Say we ...

Pt En Na primária aprendemos a fazer somas, subtrações, multiplicações e divisões; o que nunca nos ensinam é a calcular raízes quadradas. Existe um algoritmo (não muito simples) para calcularmos raízes quadradas à mão, mas muitas vezes uma boa aproximação chega-nos. Acontece também que para o caso das raízes quadradas existe um truque muito simples que pode ser explicado com geometria, e esse truque produz aproximações muito boas! O que veremos mais adiante é que esse truque está relacionado com um método mais geral para resolver equações. Para explicar o truque vamos aplicá-lo diretamente. Vamos tentar encontrar a raíz quadrada de $7373$. A primeira coisa a fazer é arranjar um palpite. Quanto melhor for o palpite inicial, melhores vão ser as aproximações, mas não é preciso um palpite muito bom para que as aproximações sejam satisfatórias! Sei que $80^2 = 6400$ e $90^2 = 8100$ e $7373$ está mais ou menos no meio, portanto posso tomar $85$ como palpite inicial. Se quisermos ter esse ...

Pt En O problema de hoje é um problema sobre geometria!... ou será que é? Problema: dados $n$ quadrados de lados $a_1, a_2, \cdots, a_n$, será que é possível cortá-los de maneira a que possamos voltar a colar os bocados para formar um único quadrado? Nota: para aqueles que gostam de ter tudo bem definido, cortar um quadrado consiste em escolher dois pontos em dois lados diferentes do quadrado e ficar com as duas figuras geométricas que surgem ao traçarmos o segmento de reta que une os dois pontos escolhidos. Solução: o primeiro passo, e talvez o mais importante, é notar que basta provar que isto é verdade para dois quadrados. Isto é, dados dois quadrados de lados $a_1$ e $a_2$ é sempre possível cortá-los de maneira a que os pedaços possam ser reunidos para construir um só quadrado. Comecemos então por essa parte da prova. Sejam $a$ e $b$ os lados dos dois quadrados, com $a > b$. Do quadrado de lado $a$ fazemos um corte paralelo a um dos lados por forma a ficarmos com dois ped...

This post's format will be a bit different from the usual. In this post, I will state a problem and then present my solution. More often than not (unfortunately) my solutions may have mistakes. If you find any, let me know! Problem statement : Let $[ABC] $ be an equilateral triangle of side length $1$. We now define a transformation of the triangle which moves one vertex and leaves the other two unchanged. To apply a transformation, start by picking the vertex you want to move. Assume it was $A $. Consider the line that goes through $A $ which is parallel to $[BC] $, and pick any point $A' $ in it. Your transformed triangle is $[A'BC] $. You can repeat this process as many times as you want. Q: Can the original triangle be transformed into an equilateral triangle of side length $2$? How/why? Try figuring this for yourself. The answer is "no". Can you show why? Hint 1 Look for an invariant of the transformation! That is, find a property of the triangle that does ...