savoy082

Pt En O problema deste post é muito engraçado porque é muito simples de enunciar e o resultado é um facto engraçado sobre os números inteiros! Problema: Mostra que qualquer número inteiro tem um múltiplo que se escreve apenas com os dígitos $0$ e $1$. Solução: Por comodidade, sejam $c(1) = 1$ e $c(n+1) = 10^{n} + c(n), n > 0$, i.e. $c(k)$ é o número que é escrito por $k$ dígitos $1$ de seguida. Consideramos a lista $c(1), c(2), \cdots, c(|n|-1), c(|n|)$. Ou existe algum $k$ tal que $n\ |\ c(k)$, ou pelo princípio do pombal existem 2 índices $i>j$ com $c(i) \equiv c(j) \mod |n|$. Mas se $c(i)$ e $c(j)$ deixam o mesmo resto na divisão por $n$ então $c(i) - c(j) \equiv 0 \mod{|n|}$ e $c(i) - c(j)$ é escrito apenas com $0$s e $1$s. Por exemplo, para o número $4$ consideramos os números $1, 11, 111, 1111$. É fácil de ver que nenhum desses quatro números é múltiplo de $4$, portanto precisamos de recorrer à segunda parte da demonstração. É fácil de ver que $11,111$ têm o mesmo resto ...

(An english translation of this post can be found after the portuguese version, here ) O objetivo deste post é introduzir o conceito de grupo de uma maneira que seja entendível por um aluno do secundário. Os grupos são objetos matemáticos cuja utilidade advém do nível de abstração que representam, em relação aos objetos matemáticos mais usuais, tais como: os números inteiros, racionais e reais ($\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$); as funções (reais de variável real) com a soma usual e composição de funções ($f \circ g$); rotações e simetrias de polígonos regulares. Tentaremos também justificar a importância da noção de grupo através de alguns resultados (simples) que provam a utilidade de considerar objetos abstratos. Supõe-se que o leitor está minimamente familiarizado com os objetos da lista anterior, uma vez que uma das maneiras mais fáceis de introduzir a noção de grupo é ir comparando a teoria abstrata com objetos concretos e comuns. Começamos por apresentar a definição formal...

(english version below ) O problema deste post foi-me colocado na primeira edição das Jornadas de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, numa sessão de jogos matemáticos ! O problema é particularmente engraçado porque assenta num jogo que se pode jogar entre duas pessoas. Problema: suponha-se que sobre uma mesa estão dois montes de feijões, um com 19 feijões e outro com 20 feijões. A Ana e o João vão jogar um jogo com esses montes de feijões: cada jogada consiste em retirar $2N$ feijões de um monte e pôr  $N $ feijões no outro monte. Assim, na primeira jogada podemos, por exemplo, tirar 10 feijões do monte com 19, deixando-o com 9, e pôr 5 feijões no monte com 20, deixando-o com 25. A Ana vai ser a primeira a jogar e perde quem não puder fazer nenhuma jogada válida. Será que algum dos jogadores consegue garantir a sua vitória? Este jogo tem regras muito simples e é bastante engraçado, vale a pena jogá-lo com alguém só para entender realmente como funciona a d...